viernes, 17 de mayo de 2013

Desconocido matemático prueba propiedad alusiva de los números primos

Créditos: bwright923/Flickr
El 17 de abril, un documento llegó a la bandeja de entrada de la revista Annals of Mathematics, una de las revistas más prominentes de la disciplina. Escrito por un matemático prácticamente desconocido para los expertos en su campo -un profesor de 50 y tantos años de la Universidad de New Hampshire llamado Yitang Zhang- afirmaba afirmó haber dado un gran paso en la comprensión de uno de los problemas más antiguos de las matemáticas, la conjetura de los primos gemelos.

Editores de revistas matemáticas prominentes se utilizan para alinear grandiosas afirmaciones de autores desconocidos, pero este trabajo era diferente. Escrito con claridad cristalina y un control total de la situación, mostraba que era evidentemente un trabajo serio, y los editores de Annals decidieron ponerlo en la pista rápida.

Apenas tres semanas más tarde -en un abrir y cerrar de ojos, en comparación con el ritmo habitual de las revistas de matemáticas- Zhang recibió el informe de árbitro sobre su documento.

"Los principales resultados son de primera categoría", escribió uno de los árbitros. El autor había demostrado "un teorema como punto de referencia en la distribución de los números primos."

Los rumores se extendieron por la comunidad matemática, sobre un gran avance realizado por un investigador que nadie parecía conocer -alguien cuyo talento había sido tan alto después de que obtuvo su doctorado en 1991 que había encontrado dificultades para obtener un trabajo académico-, trabajando varios años como un contador e incluso en una tienda de sandwiches Subway.

"Básicamente, nadie lo sabe", dijo Andrew Granville, un teórico en la Université de Montréal. "Ahora, de repente, ha demostrado uno de los mejores resultados en la historia de la teoría de los números."

Los matemáticos de la Universidad de Harvard organizaron apresuradamente un espacio para que Zhang pudiera presentar su trabajo a un público el 13 de mayo. Como han surgido detalles de su trabajo, se ha hecho evidente que Zhang logró su resultado no a través de un nuevo enfoque radicalmente al problema, sino mediante la aplicación de los métodos existentes con gran perseverancia.

"Los grandes expertos en el tema ya habían tratado de hacer que un enfoque así funcionará", expone Granville. "Él no es un experto conocido, pero tuvo éxito donde todos los expertos habían fracasado."

El problema de los números primos pares


Los números primos -los que no tienen factores distintos de 1 y ellos mismos- son los átomos de la aritmética y han fascinado a los matemáticos desde los tiempos de Euclides, quien demostró hace más de 2,000 años, que hay un número infinito de ellos.

Los números primos están fundamentalmente relacionadas con la multiplicación,  y su comprensión de propiedades aditivas puede ser complicado. Algunos de los más antiguos problemas sin resolver en matemáticas se refieran a cuestiones básicas sobre los números primos y la adición, como la conjetura de los primos gemelos, que propone que hay infinitos pares de primos que difieren en sólo 2, y la conjetura de Goldbach, que propone que todo número par es la suma de dos números primos. (Por una asombrosa coincidencia, una versión más débil de esta última cuestión se resolvió en un documento publicado en línea por Harald Helfgott de la École Normale Supérieure de París, mientras que Zhang estaba dando su discurso de Harvard).

Los números primos son abundantes al inicio de los números, pero crecen de formas mucho más escasa entre los grandes números. De los 10 primeros números, por ejemplo, 40 por ciento son primos -2, 3, 5 y 7-, pero entre los números de 10 dígitos, sólo alrededor del 4 por ciento son primos. Durante más de un siglo, los matemáticos han entendido el promedio de los números primos: Entre los grandes números, la diferencia esperada entre los números primos es de aproximadamente 2,3 veces el número de dígitos, así que, por ejemplo, los números de 100 dígitos, la diferencia esperada entre primos es de aproximadamente 230.

Pero eso es sólo un promedio. Números primos están a menudo mucho más cerca de lo que predice la media, o mucho más separados. En particular, el "gemelo" a menudo surge -en pares como 3 y 5, o 11 y 13, que se diferencian sólo por 2. Y mientras que tales pares quedan más raros entre los números más grandes, primos gemelos nunca parecen desaparecer por completo (el par más grande descubierto hasta ahora es 3,756,801,695,685 x 2 666 669 - 1 y 3,756,801,695,685 x 2666,669 + 1).
Durante cientos de años, los matemáticos han especulado que existen infinitos pares de primos gemelos. En 1849, el matemático francés Alphonse de Polignac extendió esta conjetura a la idea de que debe haber un número infinito de pares de primos para cualquier posible brecha finita, no sólo 2.

Desde entonces, el atractivo intrínseco de estas conjeturas les ha dado la condición de santo grial matemático, a pesar de que no tienen aplicaciones conocidas. Pero a pesar de muchos esfuerzos para probarlos, los matemáticos no podían descartar la posibilidad de que las diferencias entre los números primos crecen y crecen, eventualmente de forma superior a cualquier límite particular.

Ahora Zhang ha roto esta barrera. Su trabajo muestra que hay un número N inferior a 70 millones de de tal manera que hay infinitos pares de primos cuya diferencia es N. No importa lo lejos que vaya en los desiertos de los números primos verdaderamente gigantescos -no importa cuan escaso sean los números primos -se mantendrá la búsqueda de parejas de primos que difieren en menos de 70 millones.

El resultado es "asombroso", expresó Daniel Goldston, teórico de números en la Universidad Estatal de San José. "Es uno de esos problemas en los cuales usted no tenía certeza de que serían capaz de resolver."

Un primer tamiz


Las semillas del resultado de Zhang surgieron en un documento de hace ocho años en el cual los teóricos de números se refieren como GPY, después de que sus tres autores - Goldston, János Pintz del Rényi Instituto Alfred de las matemáticas en Budapest, y Cem Yıldırım de la Universidad de Bogazici en Estambul. Ese documento estuvo cerca de forma tentadora, pero al final no pudo demostrar que existen infinitos pares de primos por algún hueco finito.

En su lugar, se demostró que siempre habrá pares de números primos mucho más cerca entre sí que la separación media predice. De forma más precisa, GPY mostró que por cada fracción que elija, no importa cuan pequeño sea, siempre habrá un par de primos más cerca de la fracción de brecha promedio, si sale lo suficiente a lo largo de la recta numérica. Sin embargo, los investigadores no pudieron demostrar que las diferencias entre estos primeros pares son siempre menores que un número finito particular.

La criba de Eratóstenes: Este procedimiento, que se remonta a los antiguos griegos, identifica todos los primos menores que un número dado, en este caso 121. Se inicia con el primer primo -dos, de color rojo brillante- y elimina todos los números divisibles por dos (de color rojo oscuro). Luego se pasa a tres (verde brillante) y elimina todos los múltiplos de tres (verde apagado). Cuatro ya ha sido eliminado, se hace con múltiplos de cinco (azul brillante), el tamiz elimina todos los múltiplos de cinco (azul apagado). Se mueve a la siguiente número incoloro, siete, y elimina sus múltiplos (color amarillo apagado). El tamiz se pasa a 11 -la raíz cuadrada de 121- pero puede detenerse aquí, porque todos los que no son primos más grandes que 11 ya han sido filtrados. Todos los números restantes (de color morado) son primos. (Créditos: Sebastian Koppehel).

GPY utiliza un método llamado "tamizado" para filtrar los pares de números primos que están más cerca de lo normal. Tamices han sido utilizados en el estudio de números primos, desde hace 2000, la Criba de Eratóstenes, es una técnica para la búsqueda de números primos.

La Criba de Eratóstenes se usa para encontrar, por ejemplo, todos los números primos hasta el 100, comienza con el número dos, y tacha cualquier número más alto en la lista que sea divisible por dos. A continuación pasa a tres, y tacha todos los números divisibles por tres. Cuatro ya está tachado, por lo que pasa a cinco, y se tacha todos los números divisibles por cinco, y así sucesivamente. Los números que sobreviven a este proceso de cruce de salida son números primos.

La criba de Eratóstenes funciona perfectamente para identificar números primos, pero es demasiado engorroso e ineficiente que se utilizarán para responder a las preguntas teóricas. Durante el siglo pasado, teoría de números se han desarrollado un conjunto de métodos que proporcionan respuestas aproximadas útiles a tales preguntas.

"La criba de Eratóstenes es un trabajo demasiado bueno", reitera Goldston. "Los métodos de cribado modernos obtiene un tamiz perfecto."

GPY desarrolla un cedazo que filtra las listas de números que son candidatos plausibles para tener pares primos en ellos. Para llegar desde allí a los pares de primos reales, los investigadores combinaron su herramienta de tamizado con una función cuya eficacia está basada en un parámetro denominado el nivel de distribución que mide la rapidez con que los números primos comienzan a mostrar ciertas regularidades.

El nivel de distribución se sabe que es al menos tiene valor de ½. Este es exactamente el valor correcto para demostrar el resultado GPY, pero se queda antes de la prueba de que siempre hay pares de números primos con una brecha limitada. El tamiz de GPY podría establecer ese resultado, los investigadores mostraron, pero sólo si el nivel de distribución de los números primos se pudo demostrar ser más que ½. Cualquier cantidad más sería suficiente.

El teorema de GPY "parece estar dentro de un pelo de la obtención de este resultado", escribieron los investigadores.

Pero los más investigadores trataron de superar este obstáculo. A finales de 1980, tres investigadores -Enrico Bombieri, medalla Fields en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, John Friedlander, de la Universidad de Toronto, y Henryk Iwaniec de la Universidad de Rutgers- desarrollaron una manera de ajustar la definición del nivel de distribución hasta llegar al valor de 4/7. Luego se distribuyó el documento GPY en 2005, en el cual los investigadores trabajaron febrilmente para incorporar este nivel ajustado de distribución en el marco de tamizado de GPY, pero fue en vano.

"Los grandes expertos en el área intentaron y fracasaron", opino Granville. "Personalmente no creo que nadie iba a ser capaz de hacerlo en el corto plazo."

Cerrando la brecha


Mientras tanto, Zhang estuvo trabajando en soledad para tratar de cerrar la brecha entre el resultado GPY y lagunas que dejaba la acotación de la conjetura. Un inmigrante chino que recibió su doctorado de la Universidad de Purdue, que siempre había estado interesado en la teoría de números, a pesar de que no era el tema de su disertación. Durante los años difíciles en los que no tuvo conseguir un trabajo académico, siguió de cerca los acontecimientos sobre el terreno.

"Debía haber un montón de oportunidades en la carrera, pero lo importante era seguir pensando", pensó Zhang al leer el periódico sobre el documento GPY, y, en particular, la frase se refiere a la amplitud del nivel de distribución entre GPY y las lagunas principales acotadas. "Esa frase me impresionó mucho", dijo.

Sin comunicación con expertos del campo, Zhang empezó a pensar en el problema. Después de tres años, sin embargo, no había hecho ningún progreso. "Estaba tan cansado", reitero.

Para tomar un descanso, Zhang visitó a un amigo en Colorado el verano pasado. Allí, el 3 de julio, durante una pausa de media hora en el patio trasero de su amigo antes de salir para un concierto, la solución de repente vino a él. "Inmediatamente me di cuenta de que iba a funcionar", expresó.

Idea de Zhang era utilizar el tamiz no GPY pero una versión modificada del mismo, en el que el tamiz no se filtra por cada número, pero sólo por números que no tienen factores primos grandes.

"Su tamiz no hace un buen trabajo, ya que no está utilizando todo lo que puede ofrecer el tamiz", agrego Goldston. "Pero resulta que si bien es un poco menos eficaz, da flexibilidad y permite que el argumento funcione."

Si bien el nuevo tamiz permitió a Zhang demostrar que existen infinitos pares de primos más cerca en un valor 70 millones, es poco probable que sus métodos pueden ser empujados hacia la conjetura de los primos gemelos, añadió Goldston. Incluso con los más fuertes hipótesis posibles sobre el valor del nivel de la distribución, dijo, el mejor resultado probable que surja a partir del método GPY sería que existen infinitos pares de primos que difieren en 16 o menos.

Pero Granville reiteró que los matemáticos no deben descartar prematuramente la posibilidad de llegar a la conjetura de los primos gemelos por estos métodos.

"Este trabajo es un elemento de cambio, y, a veces después de una nueva prueba, lo que había aparecido previamente resulta mucho más difícil apreciar que sólo es una extensión pequeña", opinó. "Por ahora, tenemos que estudiar el papel y ver qué es lo que."

Zhang tomo varios meses para trabajar a través de todos los detalles, pero el papel resultante es un modelo con claridad expositiva, expreso Granville. "Él abarco cada detalle para que nadie lo dudará. No hay palabrería".

Una vez recibido el informe de los árbitro, se desarrollaron acontecimientos a una velocidad vertiginosa. Invitaciones para hablar sobre su obra "Creo que las personas están muy emocionados de que que alguien de la nada lo haya hecho", expresó Granville.

Para Zhang, que se hace llamar tímido, el resplandor de las luces ha sido un poco incómodo. "Le dije: '¿Por qué es esto tan rápido?'", "Es confuso, a veces."

Zhang no es tan tímido, sin embargo, durante su discurso de Harvard, en el cual los asistentes lo elogiaron por su claridad. "Cuando voy a dar una charla, me concentró en las matemáticas y me olvido de mi timidez".

Zhang dijo que no siente resentimiento por la relativa oscuridad de su carrera hasta el momento. "Mi mente esta muy tranquila. No me preocupo tanto el dinero, o el honor, "Me gusta estar tranquilo y seguir trabajando por mi cuenta."

Mientras tanto, Zhang ya ha comenzado a trabajar en su próximo proyecto, que se negó a describir. "Espero que sea un buen resultado".

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