domingo, 24 de mayo de 2015

El mundo en un grano de arena: la asombrosa geometría de John Nash

John Forbes Nash Jr. murió trágicamente en un accidente automovilístico el 23 de mayo de este año. En vida tuvo justos y merecidos homenajes, quien se hiciera famoso por la biografía de Sylvia Nasar "Una mente maravillosa" y la posterior película basada en esta obra.

Superficies de este tipo son capaces de ser descrita, gracias al trabajo de Nash. Créditos: Proyecto Hevea.

Aunque mucho se ha dicho sobre el trabajo de Nash en la teoría de juegos, lo cierto es que poco se ha hablado de otros logros matemáticos de Nash. Además de la teoría de juegos, Nash trabajó en campos tan diversos como la geometría algebraica , topología, ecuaciones diferenciales parciales y la criptografía. Pero quizás lo más espectaculares resultados de Nash estuvieron en la geometría.

John Nash y la matemática pura


Una gran parte del trabajo de Nash estuvo en el campo de la geometría. Pero este tipo de geometría -la geometría diferencial- es muy diferente de la geometría aprendida en la escuela secundaria. No se trata de la trigonometría, como se encuentra en los libros de texto. Más bien, se trata de temas como superficies y curvatura.

Al igual que todos los matemáticos puros, Nash demostró teoremas: estados lógicos que son rigurosos, precisos y absolutamente ciertos, sin tolerancia para la vaguedad. El mundo de la matemática pura es austera y a menudo abstruso, pero sus pretensiones de verdad son eternas y absoluta.

Bueno, esa es la teoría, al menos. Los avances en las matemáticas puras juegan a menudo con los mismos límites de la comprensión humana. Se necesita tiempo, incluso para los que están en el campo, para comprender plenamente los nuevos desarrollos.

El trabajo de Nash era un caso extremo. Sus trabajos pueden ser presentados de forma caótica, difícil de seguir y sus enfoques a los problemas eran a menudo diferente a todo lo que había venido antes que él, embaucando a estudiantes como a expertos. Y su creatividad era de otro mundo.

Mientras que los argumentos matemáticos están fuertemente limitados por los rigurosos requisitos de la lógica, construcciones y métodos, Nash fue una excepción. Y en ningún otro campo como la geometría Nash encontró cabida.

Geometría de Nash

Si tomáramos una hoja de papel, podríamos doblarla, pero sin necesidad de digitalizar o arrugar, ¿qué formas se pueden obtener? No se puede hacer una esfera, o incluso una sección de una esfera, porque una esfera es curva, mientras que el papel esté plano.

Pero podemos hacer un cilindro. E incluso un cono, porque resulta, que a pesar de que un cilindro o un cono se ve curvado, es intrínsecamente plana. En un curso de introducción a geometría diferencial, se estudia esta curvatura intrínseca, y resulta que hay un montón de superficies planas.

Estas ideas han existido durante cientos de años antes de Nash, pero Nash las llevó mucho más lejos.

La incrustación del problema

Nash tomó la idea de "incrustar" una superficie: colocarla en el espacio sin fisuras, arrugas o cruzarse. Una incorporación que no altere la geometría intrínseca de la superficie es "isométrico". En otras palabras, las superficies anteriormente son "incrustaciones" isométricas del plano en el espacio tridimensional.

La pregunta incrustación isométrica se le puede pedir, no sólo para el plano, pero para cualquier superficie posible: Esferas, donas (que los matemáticos llaman toros para tratar de parecer respetable) y muchos otras.

Como resultado, hay superficies que están tan fuertemente curvados o se enredan que no se pueden incrustar en el espacio de 3 dimensiones en absoluto. De hecho, ni siquiera pueden ser incrustados en el espacio de 4 dimensiones.

Pero Nash demostró que cualquier superficie puede ser embebido en el espacio 17-dimensional. Dimensiones extra, lejos de hacer el problema aún más difícil, en realidad lo hacen más fácil -le da más espacio para integrar su superficie-. Más tarde, el trabajo de Nash fue mejorado por los demás, y ahora sabemos que cualquier superficie puede ser embebido en el espacio 5-dimensional.

Sin embargo, las superficies son solamente 2-dimensional. Y Nash estaba interesado en superficies de cualquier posible dimensión. Estos análogos de dimensiones superiores de superficies se conocen como "colectores".

Nash demostró que siempre se puede incrustar un colector en el espacio de una dimensión, sin distorsionar su geometría. Con este resultado trascendental, se resolvió el problema de incrustación isométrica.

La prueba de Nash para resolver el problema incrustación isométrica fue una sorpresa completa a gran parte de la comunidad matemática. Sus métodos eran revolucionarios. El gran matemático Mikhail Gromov dijo que el trabajo de Nash en el problema de la incrustación le parecía ser "tan convincente como el levantamiento de uno mismo por los pelos". Pero después de un gran esfuerzo, Gromov finalmente entendió la prueba: al final de un largo argumento de John, dijo Gromov, Nash "milagrosamente, te has podido levantar en el aire de los pelos".

Acción isométrica

Gromov pasó a desarrollar sus propias ideas, inspiradas en la obra de Nash. Escribió un libro -de renombre similar entre los matemáticos por su incomprensibilidad, al igual que el trabajo de Nash- en el que desarrolló un método llamado "integración convexa".

El método de Gromov tenía varias ventajas. Una es que es más fácil de hacer dibujos de una inmersión realizada con su método de integración convexa. Antes de Gromov, existían inmersiones isométricas y tenían maravillosas propiedades, pero fue un tiempo muy difícil tratando de visualizarlas, sobre todo porque a menudo estaban en dimensiones superiores.

En 2012, un equipo de matemáticos franceses produce gráficos por ordenador de inmersiones isométricas utilizando métodos de integración convexas de Gromov. Son extremadamente complejas, casi como fractales, pero suaves.

El mundo en un grano de arena

El trabajo de Nash sobre el problema de incrustación isométrica tiene muchas facetas y ha dado lugar a una enorme cantidad de investigaciones posteriores.

Un aspecto particularmente sorprendente es cómo se construyen las inmersiones isométricas. El trabajo de Nash, junto con la posterior obra de Nicolaas Kuiper , mostró que si quería incrustar isométricamente una superficie en el espacio de 3 dimensiones, es suficiente como para ser capaz de reducir su tamaño.

Si tomamos una incrustación "encogida" de su superficie - es decir, con todas las longitudes disminuidas - entonces Nash y Kuiper mostraron cómo se puede obtener una incrustación isométrica de su superficie con sólo ajustar su versión encogida un poco.

Esto suena ridículo. Por ejemplo, tomemos una esfera -como la superficie de una pelota de tenis- e imaginamos la contracción hasta tener un radio de apenas unos cuantos nanómetros. Nash y Kuiper muestran que "agitando" suficientemente la superficie (siempre sin problemas, sin arrugas o rasgaduras), podemos tener una copia isométrica de su pelota de tenis original, todo contenido dentro de este radio nanómetrico. Este tipo de "agitación" de la superficie se reprodujo en los gráficos de computadora del equipo francés.

El equipo francés consideró tomar un pedazo cuadrado de papel plano. Pegó la parte superior a la parte inferior, para conseguir un cilindro. Ahora pega el lado izquierdo al lado derecho. Si se piensa un poco, es posible que pueda ver que se obtiene una dona. Pero se encuentra que el papel está arrugado o distorsionado.

¿Se puede incrustar en el espacio de 3 dimensiones sin distorsión? Nash y Kuiper dicen "sí". Gromov dice "utilizando la integración convexa".

Pero el teorema matemático no sólo se aplica a las pelotas de tenis o las donas: el teorema es válido para cualquier colector de cualquier dimensión. Cualquier mundo puede estar contenida en un grano de arena.

¿Cómo lo hizo?

Nash tuvo una rara combinación de genio y dedicación. En su biografía de Nash, Sylvia Nasar detalla su formidable tenacidad y esfuerzo dedicado a trabajar en el problema.

Como es bien conocido, luego de ver la película, Nash llegó a creer en teorías de conspiración descabelladas que involucraban alienígenas y seres sobrenaturales, como resultado de su esquizofrenia. Cuando más tarde se le preguntó por qué, un científico muy inteligente, podría creer en esas cosas, él dijo que esas ideas "vinieron a mí de la misma manera que mis ideas matemáticas hicieron. Así que los tomé en serio".

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